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Einige Anmerkungen und Ergänzungen zu mathematischen Artikeln

Mersenne-Primzahlen

Die Mersenne prime ist eine Prime number, die ausschließlich mit der Binärziffer "1" geschrieben wird.
binär	11	111	11111	1111111	1111111111111	11111111111111111	1111111111111111111	1111111111111111111111111111111	…
potenz	22-1	23-1	25-1	27-1	213-1	217-1	219-1	231-1	…
dezimal	3	7	31	127	8191	131071	524287	2147483647	…
Die wichtigste Eigenschaft einer Mersenne-Primzahl: „Die Anzahl der Binärziffern muss eine Primzahl sein.“

Die Mersennezahl $M_{n}$ ist eine Binärzahl, die gerade aus $n$ Einsen besteht (Zahlenpalindrom). Bei Mersenne-Primzahlen (Primzahlpalindrom) ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl.

Pythonprogramm Lucas-Lehmer-Test

Mit dem Lucas-Lehmer-Test läßt sich sehr schnell prüfen ob eine Mersennezahl auch eine Mersenne-Primzahl ist. Mit dem hier gezeigten Pythonprogramm können Mersennezahlen überprüft werden, wobei die Berechnungen bis zur 20ten Mersenne-Primzahl jeweils nur wenige Sekunden dauern.

#!/Lucas-Lehmer-Test
print 'Lucas-Lehmer-Test (Mersenne-Zahlen)'
p = int(raw_input ('Exponent p  von 2^p-1'))
m=2**p-1
print 'm = 2 ^',p,'- 1 =',m
s=4
for i in range (2,p):
    s=(s*s-2)%m
print 'ist',
if s==0:
    print 'eine',
else:
    print 'keine',
print 'Mersenne-Primzahl'

Exponenten p (2^p-1) der ersten 20 Mersenne-Primzahlen

1. 2
2. 3
3. 5
4. 7
5. 13
6. 17
7. 19
8. 31
9. 61
10. 89
11. 107
12. 127
13. 521
14. 607
15. 1279
16. 2203
17. 2281
18. 3217
19. 4253
20. 4423

Repunits

Es gilt übrigens für die Schreibweise von Zahlen in allen Stellenwertsystemen, dass Zahlen die nur aus Ziffern „1“ bestehen (Repunits), nur dann eine Primzahl sein können, wenn die Anzahl der Ziffern selbst auch eine Primzahl ist.

Die ersten Zahlen dieser Art, die aus diesem Grund keine Primzahlen sein können sind:

1. 15 (1111 Basis 2)
2. 40 (1111 Basis 3)
3. 63 (111111 Basis 2)
4. 85 (1111 Basis 4)
5. 156 (1111 Basis 5)
6. 255 (11111111 Basis 2)
7. 259 (1111 Basis 6)
8. 364 (111111 Basis 3)
9. 400 (1111 Basis 7)
10. 511 (111111111 Basis 2)

...

Umgekehrt ist jede Primzahl p>2 in dem Stellenwertsystem mit der Basis p-1 eine 2-stellige Repunit. Besonders interessant sind aber die Repunits mit mehr als 2 Stellen die Primzahlen sind. In der Folge A085104 in OEIS sind diese Art Primzahlen aufgeführt.

Repunits und Palindrome in Dreieckszahlen

Unter den Dreieckszahlen sind besondere Palindromzahlen aufgeführt. Die n-ten Dreieckszahlen bei denen n Repunits mit einer geraden Anzahl von Stellen (vollständige Palindromzahlen) sind, scheinen vollständige palindromische Dreieckszahlen zu indizieren die eine auffällige Ziffernfolge aufweisen. Tatsächlich lassen sich n-te palindromische Dreieckszahlen in Stellenwertsystemen mit gerader Basis > 2 konstruieren.

((sequence A000217 in the OEIS)) und Liste der Dreieckszahlen

Repunit 11_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

nBasis	DreieckszahlBasis	ndezimal	Dreieckszahldezimal
114	334	5dezimal	15dezimal
116	446	7dezimal	28dezimal
118	558	9dezimal	45dezimal
1110	6610	11dezimal	66dezimal
1112	7712	13dezimal	91dezimal
1114	8814	15dezimal	120dezimal
...	...	...	...

• (Siehe hierzu auch: A000384)

Repunit 1111_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

nBasis	DreieckszahlBasis	ndezimal	Dreieckszahldezimal
11114	-	85dezimal	-
11116	4155146	259dezimal	33670dezimal
11118	5166158	585dezimal	171405dezimal
111110	61771610	1111dezimal	617716dezimal
111112	71881712	1885dezimal	1777555dezimal
111114	81991814	2955dezimal	4367490dezimal
...	...	...	...

Repunit 111111_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

nBasis	DreieckszahlBasis	ndezimal	Dreieckszahldezimal
1111114	-	1365dezimal	-
1111116	-	9331dezimal	-
1111118	51627726158	37449dezimal	701232525dezimal
11111110	617288271610	111111dezimal	6172882716dezimal
11111112	718299281712	271453dezimal	36843501331dezimal
11111114	8192AA291814	579195dezimal	167733713610dezimal
...	...	...	...

Je größer die Basis eines Stellenwertsystems gewählt wird, desto mehr palindromische Dreieckszahlen lassen sich konstruieren!

Die größten hexadezimalen palindromischen Dreieckszahlen dieser Art sind:

Repunit_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

nBasis	DreieckszahlBasis	ndezimal	Dreieckszahldezimal
111111111111hex	91A2B3C4D5EE5D4C3B2A19hex	18764998447377dezimal	176062583365039992818313753dezimal
11111111111111hex	91A2B3C4D5E6FF6E5D4C3B2A19hex	4803839602528529dezimal	11538437463410730145064930716185dezimal

Algorithmus

Bildungsalgorithmus für die größte palindromische Dreieckszahl in einem Stellenwertsystem mit einer geradezahligen Basis > 2.

1. Die n-te Dreieckszahl wird bestimmt durch eine Repunit zur ausgewählten Basis b mit b-2 Ziffern (Stellen).
2. Die Anzahl der Ziffern der palindromischen Dreieckszahl ist (b-3)*2, die erste Hälfte der Palindromzahl hat somit b-3 Ziffern.
3. Die erste Stelle der palindromischen Dreieckszahl erhält die Ziffer b/2+1.
4. Die zweite Stelle der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhält die Ziffer 1.
5. Die weiteren Stellen der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhalten die um 1 erhöhten Ziffern der vorvorherigen Stelle.
6. Die zweite Hälfte der palindromischen Dreieckszahl wird dann durch Anhängen der gespiegelten Ziffernfolge gebildet.

Mehr zu Dreieckszahlen

Zu: Alle Dreieckszahlen > 3 sich zusammengesetzte Zahlen

• Bei allen (Dreieckszahlen > 6) - 1 handelt es sich ebenfalls um zusammengesetzte Zahlen.

Vollkommene Zahlen

Eine Zahl ist eine Vollkommene Zahl, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler. Aus den Mersenne-Primzahlen lassen sich alle bekannten Vollkommenen Zahlen konstruieren. Die Verwandschaft läßt sich besonders leicht in der Binärdarstellung erkennen.
binär	110	11100	111110000	1111111000000	1111111111111000000000000	111111111111111110000000000000000	1111111111111111111000000000000000000	…
potenz	(22-1)21	(23-1)22	(25-1)24	(27-1)26	(213-1)212	(217-1)216	(219-1)218	…
dezimal	6	28	496	8128	33550336	8589869056	137438691328	…
Der binäre Darstellung einer Vollkomenen Zahl besteht aus der Mersenne-Primzahl, gefolgt von Ziffern „0“ mit einer um eine Stelle verringerten Anzahl.

Die Vollkommenen Zahlen gehören zu den „Freiwilligen Palindromzahlen“, denn in der Binärschreibweise kann die erforderliche Anzahl der Ziffern „0“ vor der Zahl ergänzt werden, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

Beispiel: 11100 = 0011100 = Freiwillige Palindromzahl

Vollkommene Zahlen (1. - 20.)

Die ersten 20 Vollkommenen Zahlen, die nach der oben angegebenen Formel mit den Mersenne-Primzahlen gebildet wurden, lauten:

1. 6
2. 28
3. 496
4. 8128
5. 33550336
6. 8589869056
7. 137438691328
8. 2305843008139952128
9. 2658455991569831744654692615953842176
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
11. 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
12. 14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
13. 23562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976
14. 141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
15. 54162526284365847412654465374391316140856490539031695784603920818387206994158534859198999921056719921919057390080263646159280013827605439746262788903057303445505827028395139475207769044924431494861729435113126280837904930462740681717960465867348720992572190569465545299629919823431031092624244463547789635441481391719816441605586788092147886677321398756661624714551726964302217554281784254817319611951659855553573937788923405146222324506715979193757372820860878214322052227584537552897476256179395176624426314480313446935085203657584798247536021172880403783048602873621259313789994900336673941503747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212775603535764707952250173858305171028603021234896647851363949928904973292145107505979911456221519899345764984291328
16. 1089258355057829337698225273522048981957108454302608067318906618508470155298616996291940961858901379546182685531220055762780759342407499066046704182083087124626926378164410931450968826355205573671671624202686633360807123109470452668371537599662797484934359039779954213666598820299501366380164619080260403235229556730554163992303009752651350320619930563673695280153023049498468696618144072021372831425963701460505606378119245841386552600145384072983309717141950085498085709671387054868320477972299055273914798446936214147860706887052107312380067072602317009422809314774791894700769891009818743169303028154303290071199392984292940283852217800166629229157110264080599294016452483028528153331119523441423159614934140265550242360007858215936798489500727196347516386044241721984706558329364277995903102292034620628080752342422906401283027034649671445569324281946859622177566643375489715678451311792675935981010355562887971948569016060035334607879359770371846507659970601616998311983878150420763306289490886429900481786499537645379839365212725494441511932772182768149943659849007457246983861558265144823191367758350341527780770221556945275566504831636564856831502556078058133043400055653540413313266034639355202834006126905491569560542489551023207382276137352665717018261519604817417112576526410535323991500058749996247580834453782528
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20. 40767271711094423266286789500920409509472451956754173657558947684464681715260993357605734441071512726995067528227747339481802307406017975918463751821848507118336173625166416441051751909733833921511752076653991689253045435925355114303300112240094312492366309429025181937703076074631694330891971804062290637324463063370007444165676699382865548574698013900725344417715580901794517787294713626725247616431165717354475083506329812661542345174259067891050196093969424325393268526237129649381671501429508518532700654319135658688537822432173525578067619513381189044904675194018182193349875318307576479629202619084300084497552929130566459016664436323063518973396208264181441158994259766077215199598273505770807393645474832736784296681037040447804670653738245607704296033370069548245058222346937754342008266115596746009270472531585662215058309416971412450120373149200391305139626391147758497714062124945414219545021663761325651848979096956363445054874071200187004098334242171313866643279783121709224161095222080608666106221075196556669546036212033916214620015754946773858930331944632744676736422424630471770419404321630175578272380575860947613876452571102541656491464344575071152521057073596731123384560986412117728286743021819378916115542964437048959026512685144124956065485652281953670546881779736097894174076453897164963235414848542178185638376039787558515854327876892100291586150169593481653250617283841617035992495539326209286081463451168016943400175227907739209129141984002670216279803245614932227988255785347373220924269748847852670574748163344676257876208108900678912830541369572996543783984620215364954353893838464888672671453393130927672103268849597298792373028395452767031129100333696063046099180328138782391367566104347713165495897021159454503241952055937183814515589264894586591501363147676413662843302502175075791426238440513015405476007476498747783201892106205584698383524005031036187539925202274453467202350823213372999023061199920256689198899908817944610695281886646630824678765305845231339408011870948795735488385897157930791657525540518959449984465130248721166519809265271872913736358591494923276213116461018047328995621925367809697847697726183327599265650527446129800629718921404375627930737500435684546352140119118622625161732119556975036023320412126344181833754571377867747583783758174317957011000027824913530257131124993626863404596480086028834672069335493603141485087204213357254720762673897857837928958409382883536405344396217119883289266162616394049286804626796372654015917535645430198053751867174961912991147525380624081763689015391680510756697550659469557112900507657356152843089480485079285160832736274980123243426924630558985552020642912534528

Länge der Sehne (Kreis) mit dem Pythagoras

Die Länge der Sehne in einem Kreis läßt sich berechnen, wenn der Radius des Kreises und der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises bekannt ist. Der Abstand a und die halbe Sehne x bilden immer die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Radius r entspricht immer der Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich leicht die Länge der Sehne s ermitteln.

Pythagoras:

$r^{2}=a^{2}+x^{2}$

Formel nach x umgestellt:

$x={\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$

Sehne gleich 2x:

$s=2*x$

Besondere primitive pythagoreische Tripel

Siehe auch: Pythagoreisches Tripel

• Für jede ungerade Zahl >1 gilt, wenn sie als „a“ (Gegenkathete (Minor cathetus)) eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird, dass sich immer ein pythagoreisches Zahlentripel bilden läßt.
• Die Ankathete (Major cathetus) „b“ ist zu bilden mit (a^2-1)/2
• Die Hypotenuse „c“ ist zu bilden mit (a^2+1)/2
• Es gilt also: (natürlich) a^2+b^2=c^2 und b+c=a^2 und b=c-1 und c ist ungerade und b gerade

Nach diesen Regeln erhält man folgende primitive pythagoreische Tripel.

a	b	c
3	4	5
5	12	13
7	24	25
9	40	41
11	60	61
13	84	85
...	...	...

Tripel mit zwei Primzahlen

Pythagoreische Tripel mit zwei Primzahlen haben immer die oben beschriebene Form. Wobei die Seiten a und c die Primzahlen sind.

Die Tabelle dieser Tripel ist dann wie folgt:

aprime	b	cprime
3	4	5
5	12	13
11	60	61
19	180	181
29	420	421
59	1740	1741
...	...	...

Primzahl = a+b

Wenn zusätzlich die Bedingung gestellt wird, dass a+b ebenfalls eine Primzahl sein soll, dann sieht die Tabelle so aus:

aprime	b	cprime	a+b(prime)
3	4	5	7
5	12	13	17
11	60	61	71
19	180	181	191
29	420	421	449
71	2520	2521	2591
...	...	...	...

Primzahl = a+b+ größter Primfaktor (b)

Wenn die Summe der größten Primfaktoren der Seiten (a+c+b)_>prime eine Primzahl ist, dann ergibt sich folgende Tabelle:

aprime	b	cprime	b>prime factor	a+c+b>prime factor(prime)
29	420	421	7	457
199	19800	19801	11	20011
1091	595140	595141	109	596341
2711	3674760	3674761	271	3677743
3491	6093540	6093541	349	6097381
4691	11002740	11002741	67	11007499
...	...	...	...	...

Auffällig ist hier, dass viele größte Primfaktoren von b in einem besonderen Verhältnis zu a stehen. Es gibt häufig die Konstellation (a-1)/10 = b_{>prime factor}