शून्यम् गणितशास्त्रः
आर्यभटः
आर्यभटः(४७६ - ५५०) महान् गणितज्ञः, ज्योतिर्विदः च आसीत्। तस्य जन्म अश्मकदेशे अभवत्। सः कुसुमपुर्याम् अपठत् अवसत् च। यदा सः त्रयोविंशतिवर्षीयः तदा सः आर्यभटीयम्अलिखत्। केषाञ्चन वर्षाणाम् अनन्तरं सः आर्यभटीयसिद्धान्तम् अलिखत्। सः गुप्तकाञ्चनकाले अवसत्। ज्योतिश्शास्त्रस्य शास्तीयत्वं परिकल्पितम् आर्यभटेन एव । आर्यभटम् ’आर्यभट्टः’ इत्यपि निर्दिशन्ति केचन । आर्यभटः क्रि.श. ४७६ तमे वर्षे पाटलीपुत्रनगरे (पाटना) जातः इति, क्रि.श. ४९९ तमे वर्षे एषः ‘आर्यभटीयम्’ इति ग्रन्थं लिखितवान् इति च ज्ञायते । एषः स्वस्य २३ तमे वयसि एव एतं सिद्धान्तप्रतिपादकं श्रेष्ठं ग्रन्थं रचितवान् आसीत् । एतस्मात् एव वयम् ऊहितुं शक्नुमः यत् एतस्य प्रतिभा कीद्दशी आसीत् इति । आर्यभटीयग्रन्थे महासङ्ख्याः अपि संज्ञारूपेण कथं सङ्ग्रहेण लेखनीयाः इति विषयः, वर्ग-घनमूल-त्रिभुजादिगणितविषयाः, कटपयादिसंज्ञाक्रमः, कालविभाग-नक्षत्रगति-भगण-दिनरात्र्यादिविषयाः चापि विवृताः सन्ति । ‘मया नूतनतया किमपि न उच्यते, पूर्वजैः उक्तम् एव स्फुटतया निरूप्यते’ इति स्वग्रन्थे उक्तवान् अस्ति एषः । पञ्चाङ्गकर्तारः बहवः एतस्य सिद्धान्तम् एव अनुसरन्ति ।
शून्यम् (सङ्ख्या)
शून्यं नाम किमपि नास्ति अथवा मौल्यरहितम् इति अर्थः । मौल्यराहित्यं गणितशास्त्रे कथम् प्रमुखं पात्र वहति इति इतिहासे गणितसिद्धान्तानम् अध्ययनं कृतवतां गणितशास्त्रज्ञानाम् आश्चर्यजनकः प्रश्नः ।
इतिहासः[सम्पादयतु]
पाश्चात्त्यजगतः गणितज्ञानां शून्यम् इत्यस्य परिकल्पनमेव नासीत् । पाश्चात्त्यचिन्तनं तर्कान्तफलं पौर्वात्यचिन्तनं ध्यनान्तफलं च भवतः । अनेन हेतुना एव शून्यस्य अर्थवैशिष्ट्यं पौर्वात्यानाम् एव सुलभम् अभवत् । यतः शून्यस्य परिकल्पनं भारतीयधर्मपरम्परायां सहजम् अस्ति । शून्यं तु निर्गुणब्रह्मणः प्रतीकम् अस्ति इति शास्त्रज्ञाः वदन्ति । इतिहासम् अवलोकयति चेत् क्रि.श. ५२०तमे काले दशमांशपद्धतेः आरम्भः आर्यभटेन सह अभवत् । सः शून्यस्य ख इति स्थानधारकम् उपयुक्तवान् आसीत् । तस्य पश्चात् ब्रह्मगुप्तः शून्यं ब्राह्मीसङ्ख्यापद्धत्यां योजितवान् । अस्य लेखाः यदा अरब् भाषया अनूदिताः तदा शून्यप्रकरणम् अरब्लोकं गतम् । ततः पाश्चात्त्याः तत् प्राप्य इण्डो अरेबिक् सङ्ख्या इति नाम अकुर्वन् । एवं शून्यस्य परिकल्पना क्रि.श. १२००तमे वर्षे पश्चिमदेशान् अगच्छत् । तावत्पर्यन्तम् ऐरोप्यदेशेषु रोमन् सङ्ख्यापद्धतिः अभ्यासे आसीत् । तेषां शून्यस्य परिकल्पना एव नासीत् । सर्वाभवस्य ते नुल्ला (“nulla”) इति पदम् उपयोजयन्ति स्म । अभावोऽपि निर्दिष्टसङ्ख्या इति कल्पना तेषां नासीत् । सङ्ख्यानां स्थानमौल्यपद्धतिः ब्याबिलोनियापरम्परायाम् अपि आसीत् । क्रि.पू. १७००तमे वर्षे सेक्साजेसिमल् स्थानमौल्यपद्धतिम् उपयोजयन्ति स्म । किन्तु तत्रापि शून्यस्य परिकल्पनम् एव नासीत् ।
शून्यस्य प्राधान्यम्[सम्पादयतु]
सङ्ख्यानां मध्यबिन्दुः शून्यम् । शून्यस्य दक्षिणभागे धनात्मकसङ्ख्याः अनन्ताः वामे ऋणात्मकाः सङ्ख्याः अनन्ताः । (एवम् अनन्तस्य कल्पनापि भारतीयदर्शनस्य विषयः) शून्यं धनात्मकपि न ऋणात्मकपि न । अस्माकं गणनस्य आरम्भबिन्दुः शून्यम् एव । पूर्णाङ्कानां गणने शुन्यस्य उपयोगाय निर्दिष्टः नियमः अस्ति । अथवा एतत् शून्यस्य वैशिष्ट्यम् इत्यपि वक्तुं शक्यते । सङ्कलने शून्यं येनकेनापि पूर्णाङ्केन सह योजयति अथवा व्यवकलितं चेत् पूर्णाङ्कः एव तिष्ठति । यं कमपि पूर्णाङ्कं श्यून्येन गुणयति चेत् फलं शून्यं भवति । येन केनापि पूर्णाङ्केन शून्यं भाजयति चेत् भागलब्धं शून्यमेव भवति । किन्तु शून्येय यं कमपि पूर्णाङ्कं भाजयितुं न शक्येते । यतः तस्य भागलब्धिः अनन्ता भवति । शून्यम् तु लघुतमः अनृणात्मकः पूर्णाङ्कः । शून्यं स्थानधरणमैल्ययुतं भवति (place holding value) उदाहरणार्थं १०५इति सङ्ख्यायां दशकस्थानं यदा रिक्तं भवति तदा तस्य लेखनं कथम् ? १५इति लिखामः चेत् तस्य मौल्यमेव भिन्नं भवति । अत्र मध्ये स्थितस्य शून्यस्य मौल्यं ज्ञायते कञ्चित् सङ्ख्यां पूर्णाङ्ककरणावसरे शून्यस्य स्थानं महत् भवति । उदाहरणार्थं ८७६३इति सङ्ख्यां समीपस्थ्पूर्णाङ्कम् आनयनावसरे ८७६० शून्यमेव आश्रीयते । बीजगणितस्य विकासे शून्यस्य उपयोगः अतीव महत्त्वयुतं भवति । मानवस्य इतिहासे सङ्ख्या एकतः गणनं सामान्यम् आसीत् । किन्तु अनेकमापनक्रमेषु शून्यम् आरम्भिकबिन्दुः भवति । केल्विन् उष्णतामापनयन्त्रे शून्यं कनिष्ठतमः मापनबिन्दुः । सेल्सियस् मापके शून्यं घनीभवनस्य बिन्दुः । टेट्रान्यूट्रोनियम् इति सैद्धान्तिकमूलवस्तुनः शून्यम् अणुसङ्ख्या इति अभिज्ञातम् । चतुर्णां न्यूट्रान्समूहः एकं मूलवस्तु इति सिद्धान्तः । नाम एतस्मि मूलवस्तुनि कोऽपि प्रोटान् नैव भवति । अस्य केन्द्रे कश्चिदपि विद्युदावेशः न भवति । शून्ये महत् निक्षिप्तम् ।
भारतीय गणितशास्त्रः[सम्पादयतु]
आधुनिकगणकयन्त्रम् अपि अतिशेते भारतीया वेदगणितपद्धतिः । शून्यं, दशांशपद्धतिः, सङ्खयाः, मूल्यम् इत्यादयः बहवः अंशाः भारतीयानां कारणतः एव गणितक्षेत्रं प्रविष्टवन्तः । "पैथगोरियन्" सिद्धान्तः इति यत् इदानीं पाठ्यते (कर्णवर्गः = पादवर्गः + लम्बवर्गः) स च सिद्धान्तः पैथगोरस्य जननात् त्रिशतवर्षपूर्वम् एव भारते शुल्बसूत्रे निरूपितः आसीत् । भास्कराचार्येण लीलावत्यां
"तत्कृत्योगपदं कर्णः दोष्कर्णवर्गयोर्विवरात् । मूलं कोटिः कोटिश्रुतिकृत्योः अन्तरात् पदं बाहुः "॥ इति उच्यते । पिङ्गलाचार्यः छन्दश्शास्त्रे मेरुप्रस्तारम् अधिकृत्य यत् प्रतिपादयति तदेव पास्कल्नामकेन अन्विष्टम् इति वयं पाठ्यपुस्तकेषु पठामः । अहो, विचित्रा खलु अस्माकं विद्यादानरीतिः ।
"यथा शिखा मयूराणां नागानां मणयो यथा। तथा वेदाङ्गशास्त्राणां गणितं मूर्ध्नि स्थितम्॥"। आधुनिक कालस्य अति श्रेष्टः भारतीय गणितशास्त्रज्ञः श्रीनिवास रामानुजन् महोदयः।
ब्रह्मगुप्तस्य प्रमेयम् AF = FD. अध्य समग्रे प्रपञ्चे उपयुज्यमानाः अङ्का (1,2,3,....) शून्यं (०) दशमानपद्धतिश्च भारते वर्षे अन्वैष्यन्त। रोमन् पद्धत्या संख्यानां लेखने महत् कष्टं सकलैरनुभूयते स्म। अतः तत् त्यक्त्वा सर्वे देशाः भारतान्विष्टां पद्धतिमेव स्वीचक्रुः। इयं पद्धतिः अरबाणां द्वारा यूरोपं प्राप। अतः इमां 'अरबीया पद्धतिः' , 'अरबीयाः अङ्काः' इति केचन भ्रान्त्या व्यवहरन्ति। गणितशास्त्रग्रन्थकारेषु आर्यभटः, वराहमिहिरः, भास्करः, महावीरः,श्रीधरः, द्वितीयः भास्करः इत्यादयः गणनार्हाः।
अङ्कगणितम्[सम्पादयतु]
अङ्कगणितं, पातटीगणितमिति च arithmetic इत्याख्यं शास्त्रं संस्कृते व्यवह्रियते। पाटीगणितग्रन्थेषु आचार्यभास्करस्य लीलावती मूर्धन्या। तत्र दशगुणनया शतसहस्रादिसंख्यानां गणना कथं प्रवर्तत इति इत्थं सूचितम्-
'एकदशशतसहस्त्रायुतलक्षप्रयुतकोतटयः क्रमशः। अर्बुदं अब्जं खर्वनिखर्वमहापद्मशङ्कवः तस्मात्। जलघिश्चान्तं मध्यं परार्धमिति दसशगुणोत्तराः संङ्नाः। संख्यायाः स्थानानां व्यवहारर्थं कृता पूर्वैः ॥' भास्कराचार्यः न केवलं गणितशास्त्रवित्, अपितु श्रेष्ठः कविरपि। अतः सः क्लिष्टाः गणितसमस्या अपि सरलया शैल्या प्रकृतिरम्यां दृश्यावलीं उपवर्णयन् प्रस्तौति।एकं उदाहरणम् अत्र दीयते-
'चक्रक्रौञ्चाकुलितसलिले क्वापि दृष्टं तडागे तोयादूर्ध्वं कमलकलिकाग्रं वितस्तिप्रमाणम्। मन्दं मन्दं चलितमनिलेनाहतं हस्तयुग्मे तस्मिन् मग्नं गणक कथय क्षिप्रमम्भः प्रमाणम्॥'
बीजगणितम्[सम्पादयतु]
बीजगणिते तु अनेकाव्यक्तपदात्मकानां समीकरणानां विश्लेषणं, कुट्टकवर्गप्रभृति चक्रवालानि च भारतीयानां वैशिष्ट्यम्। खगॊलशास्त्रे बीजगणितस्य उपयॊगः, बैजिकसिद्धान्तानां रेखागणितीयं प्रदर्शनं चापि भारनतीयानां प्रागल्भ्यं सूचयति।अव्यक्तपदस्य सूचनार्थं या. का. नी. पी. लॊ. इत्यादीनि अक्षराणि उपयुज्यन्ते।
यावत्तावत् कालकॊ नीलकॊsन्यॊ वर्णः पीतॊ लॊहितश्वैतदाद्याः अव्यक्तानां कल्पिता मानसमंज्ञाः तत्संख्यानां कर्तुमाचार्यवर्यः॥ क्षेत्रमिति[सम्पादयतु]
क्षेत्रमितौ (Geometry) वेदकालादेव शुल्बसूत्रग्रन्थाः भारते प्रचलिताः यज्ञवेदीनां निर्मणार्थं विभिन्नानामाकृतीनां क्षेत्रफलश्यकमासीत्। अतः अस्मिन् शास्त्रे अतीव प्रौढ्विचाराः सन्ति। पैतागॊरसॊपज्ञं इति ऎरॊप्याः यं सिद्धान्तं मन्यन्ते सः कात्यायानेन चैवं निरूपितः- 'दीर्घचतुरस्त्रस्याक्ष्ण्या रज्जुः पार्श्वमानीन्ति तिर्यङ्भानी च यत् पृतग्भूते कुरुतः तदुभयं करॊति'। इति।ऎतदेव अनन्तरभवैः पण्डितैः सुलभरूपेण दत्तम्- 'जात्यत्रिभुजैः भुजकॊटयॊर्वर्गयॊगः कर्णवर्गसमः' इति।इदानीमपि सिद्धान्तः ऎषः पैतागॊरसस्य नाम्ना परिगण्यते। अस्य 'शुल्बसिद्धान्तः' इति 'जात्यत्रिभुजसिद्धान्तः' इति वा युक्तं अभिदानम्, प्रागेव भारतीयैः अन्विष्टत्वात्। स्थिरान्कस्य (पै) इत्यस्य मौल्यं आर्यभटनैवं प्रतिपादितम्-
चतुराधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्त्राणाम्। अयुतद्वयस्य विष्कम्भस्य आसन्नौ वृत्तपरिणाहः॥ इति ॥ (१००+४)* ८+६२०००/२००००=३.१४१६ आधुनिकगणितप्रतिपाद्यमानादपि मौल्यात् निष्कृष्टतरं मौल्यं दत्त्वापि आर्यभटः तदपि 'आसन्नम्' इति ब्रवीति। सूक्ष्मतमदृष्टिः खलुः सः।
त्रिकॊणमिति[सम्पादयतु]
त्रिकॊणमितौ (Trigonometry) उपयुज्यमानं सैन् (Sine), कॊसैन् (Cosine), लागरितम् (Logarithm)इत्यादीनि क्रमशः 'शिञ्जिनि' 'कॊटिशिञ्जिनि' 'लघुरिक्तादीनाम्' भ्रष्टरूपाणि स्पष्टम्।
विश्लेषकरेखागणितम्[सम्पादयतु]
वाचस्पतिः स्वीये न्यायशास्त्रग्रन्थे विश्लेषकरेखागणितस्य आचार्य भास्करॊ गॊलाध्याये चलकलनस्य(Calculus) च मूलविचारात् प्रस्तूय युरॊपीयपण्दिताभ्यां डेकार्टे-न्यूटनाभ्यां(Descartes Newton) प्रागेव ऎतदभिज्ञौ आस्ताम्।