Neikius

Koristno znanje

Potence in koreni

${\sqrt[{y}]{x^{n}}}=x^{\frac {n}{y}}$

$x^{-y}={\frac {1}{x^{y}}}$

$x^{n}*x^{m}=x^{n+m}\qquad$

${\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}$

$\,\!(a+b)^{2}=(a^{2}+2ab+b^{2})$

$\,\!(a+b)^{3}=(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})$

$\,\!(a+b)^{4}=(a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4})$

Trigonometrične funkcije

$tan\alpha ={\frac {sin\alpha }{cos\alpha }}$

kotangens:$ctg\alpha ={\frac {cos\alpha }{sin\alpha }}$

$tan\alpha \ cot\alpha =1$

$cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1\,\!$

$sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha \ \cos \beta \pm cos\alpha \ \sin \beta$

$cos(\alpha \pm \beta )=cos\alpha \ \cos \beta \mp sin\alpha \ \sin \beta$

$tan(\alpha \pm \beta )={\frac {tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha \ tan\beta }}$

$sin(2\alpha )=2cos(\alpha )sin(\alpha )\,\!$

$cos(2\alpha )=cos^{2}(\alpha )-sin^{2}(\alpha )\,\!$

$tan(2\alpha )={\frac {2tan(\alpha )}{1-tan^{2}(\alpha )}}$

$sin({\frac {\alpha }{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1-cos(\alpha )}{2}}}$

$cos({\frac {\alpha }{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1+cos(\alpha )}{2}}}$

$tan({\frac {\alpha }{2}})={\frac {sin(\alpha )}{1+cos(\alpha )}}$

$sin^{2}(\alpha )={\frac {1}{1-cos(2\alpha )}}$

$cos^{2}(\alpha )={\frac {1}{1+cos(2\alpha )}}$

$tan^{2}(\alpha )={\frac {1-cos(2\alpha )}{1+cos(2\alpha )}}$

$cos(\alpha )=cos(-\alpha )=sin({\frac {\beta }{2}}-\alpha )$

$sin(\alpha )=-sin(-\alpha )=cos({\frac {\beta }{2}}-\alpha )$

$tan(\alpha )=-tan(-\alpha )=ctg({\frac {\beta }{2}}-\alpha )$

Rang matrike

Rang - hitri način

Rang je višina do prve ničle... ${\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}-rang1;$ ${\begin{bmatrix}5&3\\0&1\end{bmatrix}}-rang2;$ ${\begin{bmatrix}5&3\\0&0\end{bmatrix}}-rang1;$ ${\begin{bmatrix}2&4&8\\0&5&3\\0&0&9\end{bmatrix}}-rang3;$ ${\begin{bmatrix}2&4&8\\0&5&3\\0&0&0\end{bmatrix}}-rang2;$ ${\begin{bmatrix}2&4&8\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}-rang1;$ ${\begin{bmatrix}5&3&0&9\\0&7&8&1\\0&0&9&4\\0&0&0&8\end{bmatrix}}-rang4;$ ${\begin{bmatrix}5&3&0&9\\0&7&8&1\\0&0&9&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}-rang3$

Kako dobiti poravnano matriko z ničlami (kot je zgoraj)?

Dovoljene operacije:
Zamenjamo dve poljubni vrstici ali stolpca med sabo.
Pomnožimo vse elemente vrstice z istim številom, ki ni nič.
neko vrstico povečamo za n-kratnik neke druge vrstice (n je lahko pozitivno ali negativno število, vendar ne 0)

Teorija v ozadju

Če imamo matriko dimenzij $m\times n$ je rang te matrike k naravno število, ki je manjše ali enako manjšemu izmed m,n. Rang matrike je enak dimenzijam največje kvadratne podmatrike, ki še ima determinanto različno od nič.

Primeri: $A={\begin{bmatrix}5&1&3\\4&2&1\\7&3&2\end{bmatrix}}$ Prva kvadratna podmatrika je kar cela ta matrika (je sama kvadratna). Njena determinanta je 20+7+36-42-15-8=-2; to je različno od nič, torej je rang matrike 3.

$A={\begin{bmatrix}2&1&3\\3&5&7\\5&6&10\end{bmatrix}}$ Prva kvadratna podmatrika ima det : 100+54+35-75-84-30=0, torej rang ni 3. Preverimo naslednjo manjšo kvadratno podmatriko ki je: $A={\begin{bmatrix}2&1\\3&5\end{bmatrix}}$ Njena determinanta je : 10-3=7 kar pa je različno od nič, torej je ta matrika reda 2.

$A={\begin{bmatrix}5&3&2&1&4\\7&2&9&3&5\end{bmatrix}}$ Najvišja možna kvadratna podmatrika je ranga 2, recimo $A={\begin{bmatrix}5&3\\7&2\end{bmatrix}}$, det : 10-21=-11, torej imamo rang 2.

Kot vidimo je lahko problem tukaj, da je več možnih podmatrik. Izračunati pa je potrebno vse, da smo lahko prepričani (če je seveda determinanta enaka nič, rang namreč imamo ugotovljen takoj ko najdemo kvadratno podmatriko različno od nič - in sicer je rang dimenzija te kvadratne podmatrike).

Integrali

Formule

$\int {x^{n}dx}={\frac {x^{n+1}}{n+1}}primeri:\int {x^{-3}dx}={\frac {x^{-2}}{-2}}={\frac {1}{-2x^{2}}}$