User:Narenmanjunath/sandbox

ಈ ($e$) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಗಣಿತದ ಅತಿ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣ ಸಂಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು. $e$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಘುಗಣಕದ (natural logarithm) ಆಧಾರವೆಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ೧೭ ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ $e$ ಇನ ಮೊದಲ ಉಪಯೋಗವು ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಣಲಾಗಿದೆ. ತರುವಾಯ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ನ ಲಿಯೋನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ $e$ ನ ಬಹಳಷ್ಟು ಗುಣಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರಿಂದ $e$ನ್ನು 'ಯೂಲರಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ' (Euler's constant) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಥಮ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ ಜ್ಯಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು 'ನೇಪಿಯರಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ' (Napier's constant) ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಸರು ಉಪಯೋಗದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. $\pi ,i,0,1$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆ $e$ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಗಣಿತದ ಪ್ರತ್ಯೊಂದು ಕ್ಶೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮಹತ್ತ್ವೆಪೂರ್ಣವು ಹಾಗೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. $e$ ಸಂಖ್ಯೆ $2.71828...$ ಎಂದು ಶುರುವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ದಾಶಮಿಕ ನಿರೂಪಣೆ ಇಷ್ಟಕ್ಕೆ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ $\pi ,{\sqrt {2}}$ ಅಂತೆಯೇ $e$ ಒಂದು 'ಟ್ರಾನ್ಸೆನ್ಡೆನ್ಟಲ್' (transcendental) ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಗುಣದ ಕಾರಣ e ಪೂರ್ವಾನ್ಕದ ಮೂಲಕ ಬರೆದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪೊಲಿನೊಮಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣೆಯ (polynomial equation with integer coefficients) ಉತ್ತರವಾಗಲಾರದು. ೫೦ ದಾಶಮಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳ ತನಕ,

$e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...$

ವಿವರಣೆ

$e$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಘುಗಣಕದ ಆಧಾರ. ಅದೆಂದರೆ

$\ln e=1$.

$e$ ನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು: $(1+1/n)^{n}$ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು $n$ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದರೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ $e$ ಎಂದು ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ,

$\displaystyle lim_{n->\infty }(1+1/n)^{n}=e$

ಈ ವಿವರಣೆ ನೀಡಿದ ಗಣಿತಜ್ನ ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲಾಂಡ್ ದೇಶದ ಜೇಕಬ್ ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ.

ಇತಿಹಾಸ

೧೬೧೮ ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕಾಟ್ಲೆಂಡ್ ಇನ ಗಣಿತಜ್ನ ಹಾಗೂ ಭೌತವೈಜ್ನಾನಿ ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಲಘುಗಣಕ (logarithm) ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪುಸ್ತಕದ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ $e$ ಆಧಾರದಲ್ಲಿರುವ ಲಘುಗಣಕದ ಪಟ್ಟಿಯೂ ನೀಡಿದರು ಆದರೆ ಆಧಾರ ಆಗಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದವನು ಜೇಕಬ್ ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ. ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ (compound interest) ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುತ್ತಿದ್ದನು. ನಿಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಒಂದು ರುಪಾಯುವಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ೧೦%, ೧%, ೦.೧% ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಹಾಕಿದರೆ ಈ ಸಮಯದ ನಂತರ ನಿಮಗೆ ೨.೫೯, ೨.೭೦೪, ೨.೭೧೬ ವಾಪಸ್ಸು ಬರುವುದು. ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ೧ ರುಪಾಯಿಗೆ ${\frac {1}{n}}\%$ ಬಡ್ಡಿ $n$ ತಿಂಗಳಿಗಿಟ್ಟರೆ, $n$ ಅನಂತವಾದರೆ ನಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಇರುವ ಹಣ ೨.೭೧೮೨೮... ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹತ್ತಿರ ಬರುವುದು. ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದನು. ಇದರ ನಂತರ ಯೂಲರ್ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ $e$ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ನೀಡಿ ಲಘುಗಣಕಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದನು.

$e$ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಇತರ ಸಮಾನಾಂತರ ಫಾರ್ಮ್ಯುಲಾಗಳು

$e^{x}$ ಪದದ ಟೇಲರ್ ಸಾಲಿನ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು (Taylor series representation) ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಈ ವಾಕ್ಯವು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಯೂಲರಿನ ಫಾರ್ಮ್ಯುಲ

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

ಆದ್ದರಿಂದ

$e=1+1+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$.

$e$ ಸಂಖೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತು ಟ್ರಿಗೊನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳ ಮಧ್ಯ ಆಳವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಿದನು. ಪ್ರತ್ಯೋಂದು ಸಂಖ್ಯೆ \theta ಗೆ

$e^{i\theta }=cos(\theta )+isin(\theta )$

ಸಮೀಕರಣ ಸತ್ಯವು. ಇದರಲ್ಲಿ $\theta =\pi$ ಸಮೀಕರಣಗೊಂಡರೆ ವಿಶೇಷ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿ

$e^{i\pi }+1=0$

ಎಂದಾಗುವುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೌತವೈಜ್ನಾನಿ ರಿಚರ್ಡ್ ಫೈನ್ಮನ್ (Richard Feynman) 'ಗಣಿತದ ಅತಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸೂತ್ರ' ಎಂದು ಕೊಂಡಾಡಿದ್ದಾರೆ.