User:Mominert/Momentofinertia

Trägheitsmoment für ein massives, homogenes Ellipsoid

Für eine Rotation um die x-Achse ist das Trägheitsmoment: $I_{x}=\int _{V}(y^{2}+z^{2})\rho dV=\int _{V}y^{2}\rho dV+\int _{V}z^{2}\rho dV$

Ellipsoid der Masse m mit gleichmäßiger Dichte und Form beschrieben durch $(x/a)^{2}+(y/b)^{2}+(z/c)^{2}\leq 1$ hat die Hauptträgheitsmomente $(I_{x},I_{y},I_{z})=(b^{2}+c^{2},a^{2}+c^{2},a^{2}+b^{2})\cdot m/5\,$

Setze $u=x/a,\,v=y/b,\,w=z/c,\,$ und damit: $\int _{V}z^{2}\rho dV=\rho \cdot abc\cdot c^{2}\cdot K,\,$ miz $K=\int _{u=-1}^{1}\int _{v=-{\sqrt {1-u^{2}}}}^{\sqrt {1-u^{2}}}\int _{w=-{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}^{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}w^{2}dudvdw,\,$ und entsprechend $\int _{V}y^{2}\rho dV=\rho \cdot abc\cdot b^{2}\cdot K,\,$ also $I_{x}=\rho \cdot abc\cdot (c^{2}+b^{2})\cdot K={\frac {3m}{4\pi }}(c^{2}+b^{2})\cdot K,\,$ wobei $m=\rho \cdot V=\rho \cdot {\frac {4\pi }{3}}\cdot abc$

Eine massive Kugel mit a=b=c hat $I_{x}={\frac {3m}{4\pi }}\cdot 2a^{2}\cdot K$. Vergleich man dies mit dem bekannten Resultat für das Trägheitsmoment (Rotoationsachse durch den Mittelpunkt) von $I_{x}={\frac {2}{5}}ma^{2}$, ergibt sich damit: $K=4\pi /15$.

Also: $I_{x}={\frac {m}{5}}(b^{2}+c^{2})\,$ und entsprechend für die anderen beiden Hauptrotationsachsen.